Menaklukkan UAS Matematika: Panduan Lengkap Kelas 10 Semester 1

Menaklukkan UAS Matematika: Panduan Lengkap Kelas 10 Semester 1

Ujian Akhir Semester (UAS) Matematika Umum Kelas 10 Semester 1 seringkali menjadi batu loncatan penting bagi siswa dalam memahami konsep-konsep fundamental yang akan mereka gunakan di jenjang pendidikan selanjutnya. Untuk membantu Anda mempersiapkan diri dengan optimal, artikel ini akan menyajikan panduan lengkap beserta contoh soal yang mencakup berbagai topik penting yang umumnya diujikan. Kita akan mengupas tuntas setiap topik, memberikan penjelasan yang mudah dipahami, dan menyajikan solusi langkah demi langkah untuk setiap contoh soal.

Outline Artikel:

  1. Menaklukkan UAS Matematika: Panduan Lengkap Kelas 10 Semester 1

    Pendahuluan:

    • Pentingnya UAS Matematika Kelas 10 Semester 1.
    • Tujuan artikel: memberikan pemahaman mendalam dan latihan soal.
    • Ringkasan topik yang akan dibahas.

  2. Topik 1: Fungsi dan Persamaan Kuadrat

    • Konsep dasar fungsi.
    • Grafik fungsi kuadrat (parabola).
    • Menentukan titik puncak, sumbu simetri, dan titik potong.
    • Persamaan kuadrat: penyelesaian dengan pemfaktoran, rumus kuadrat (ABC), dan melengkapkan kuadrat sempurna.
    • Diskriminan dan jenis akar persamaan kuadrat.
    • Aplikasi fungsi dan persamaan kuadrat dalam kehidupan nyata.
    • Contoh Soal dan Pembahasan:
      • Soal 1: Menentukan nilai fungsi dan menggambar grafik.
      • Soal 2: Mencari titik puncak dan sumbu simetri.
      • Soal 3: Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan berbagai metode.
      • Soal 4: Menentukan jenis akar persamaan kuadrat.
      • Soal 5: Soal cerita aplikasi persamaan kuadrat.

  3. Topik 2: Fungsi Linier dan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

    • Konsep dasar fungsi linier.
    • Grafik fungsi linier: gradien dan titik potong sumbu.
    • Menentukan persamaan garis linier.
    • Konsep SPLDV.
    • Metode penyelesaian SPLDV: substitusi, eliminasi, dan grafik.
    • Aplikasi fungsi linier dan SPLDV.
    • Contoh Soal dan Pembahasan:
      • Soal 6: Menentukan gradien dan persamaan garis.
      • Soal 7: Menggambar grafik fungsi linier.
      • Soal 8: Menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi.
      • Soal 9: Menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi.
      • Soal 10: Soal cerita aplikasi SPLDV.

  4. Topik 3: Trigonometri Dasar

    • Pengenalan sudut dalam satuan derajat dan radian.
    • Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku (sinus, kosinus, tangen).
    • Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa (0°, 30°, 45°, 60°, 90°).
    • Relasi sudut dan identitas trigonometri dasar.
    • Contoh Soal dan Pembahasan:
      • Soal 11: Menghitung perbandingan trigonometri pada segitiga.
      • Soal 12: Menentukan nilai trigonometri sudut istimewa.
      • Soal 13: Menyederhanakan ekspresi trigonometri.
      • Soal 14: Menghitung tinggi atau jarak menggunakan trigonometri.

  5. Topik 4: Peluang Kejadian Sederhana

    • Konsep ruang sampel dan kejadian.
    • Menghitung peluang suatu kejadian.
    • Peluang kejadian saling lepas dan tidak saling lepas.
    • Peluang kejadian bersyarat.
    • Contoh Soal dan Pembahasan:
      • Soal 15: Menghitung peluang pelemparan dadu atau koin.
      • Soal 16: Menghitung peluang pengambilan kartu atau bola.
      • Soal 17: Soal peluang kejadian saling lepas.
      • Soal 18: Soal peluang kejadian bersyarat.

  6. Tips Jitu Menghadapi UAS Matematika:

    • Pahami konsep, jangan hanya menghafal rumus.
    • Latihan soal secara rutin dan beragam.
    • Manajemen waktu saat mengerjakan soal.
    • Perhatikan detail dan baca soal dengan cermat.
    • Jangan ragu bertanya kepada guru atau teman.
    • Jaga kesehatan dan ketenangan saat ujian.

  7. Penutup:

    • Rekapitulasi pentingnya penguasaan materi.
    • Dorongan untuk terus belajar dan berlatih.

Pendahuluan

Ujian Akhir Semester (UAS) Matematika Umum Kelas 10 Semester 1 merupakan tolok ukur penting untuk mengukur pemahaman Anda terhadap materi yang telah dipelajari selama setengah tahun ajaran. Keberhasilan dalam UAS ini tidak hanya menentukan nilai rapor, tetapi juga membangun fondasi yang kuat untuk materi matematika yang lebih kompleks di semester berikutnya dan jenjang pendidikan yang lebih tinggi. Matematika seringkali dianggap menantang, namun dengan pemahaman konsep yang tepat dan latihan yang konsisten, Anda dapat menaklukkannya.

Artikel ini hadir untuk menjadi teman belajar Anda dalam mempersiapkan UAS Matematika Kelas 10 Semester 1. Kami akan mengupas tuntas topik-topik utama yang seringkali menjadi fokus dalam ujian, mulai dari fungsi dan persamaan kuadrat, fungsi linier dan sistem persamaan linier dua variabel, trigonometri dasar, hingga peluang kejadian sederhana. Setiap topik akan dijelaskan secara rinci, diikuti dengan contoh soal yang relevan beserta pembahasan langkah demi langkah. Tujuannya adalah agar Anda tidak hanya menghafal rumus, tetapi benar-benar memahami logika di baliknya, sehingga dapat menjawab berbagai variasi soal dengan percaya diri.

Mari kita mulai perjalanan Anda menuju keberhasilan dalam UAS Matematika!

Topik 1: Fungsi dan Persamaan Kuadrat

Fungsi adalah konsep dasar dalam matematika yang menggambarkan hubungan antara dua himpunan. Dalam konteks matematika umum kelas 10, kita akan banyak berfokus pada fungsi kuadrat.

Konsep Dasar Fungsi:
Sebuah fungsi, dinotasikan sebagai $f(x)$, adalah aturan yang memetakan setiap elemen dari himpunan asal (domain) ke tepat satu elemen dalam himpunan kawan (kodomain). Nilai $f(x)$ adalah nilai dari fungsi di titik $x$.

Grafik Fungsi Kuadrat (Parabola):
Fungsi kuadrat memiliki bentuk umum $f(x) = ax^2 + bx + c$, di mana $a$, $b$, dan $c$ adalah konstanta, dan $a neq 0$. Grafik dari fungsi kuadrat adalah sebuah parabola.

  • Jika $a > 0$, parabola terbuka ke atas.
  • Jika $a < 0$, parabola terbuka ke bawah.

Menentukan Titik Puncak, Sumbu Simetri, dan Titik Potong:

  • Sumbu Simetri: Garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Persamaannya adalah $x = -fracb2a$.
  • Titik Puncak: Titik tertinggi (jika parabola terbuka ke bawah) atau terendah (jika parabola terbuka ke atas) pada parabola. Koordinat titik puncak adalah $(-fracb2a, f(-fracb2a))$.
  • Titik Potong Sumbu Y: Terjadi saat $x = 0$, sehingga titik potongnya adalah $(0, c)$.
  • Titik Potong Sumbu X: Terjadi saat $f(x) = 0$, yaitu akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$.

Persamaan Kuadrat:
Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua, berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$.

  • Pemfaktoran: Mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $ac$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $b$.
  • Rumus Kuadrat (ABC): $x = frac-b pm sqrtb^2 – 4ac2a$.
  • Melengkapkan Kuadrat Sempurna: Mengubah bentuk persamaan menjadi $(x+p)^2 = q$.

Diskriminan dan Jenis Akar:
Diskriminan, $D = b^2 – 4ac$, menentukan jenis akar persamaan kuadrat:

  • $D > 0$: Dua akar real berbeda.
  • $D = 0$: Dua akar real sama (akar kembar).
  • $D < 0$: Dua akar kompleks (tidak real).

Aplikasi:
Fungsi dan persamaan kuadrat banyak digunakan dalam fisika (misalnya, lintasan proyektil), ekonomi (misalnya, fungsi keuntungan), dan teknik.

Contoh Soal dan Pembahasan:

Soal 1:
Diketahui fungsi $f(x) = 2x^2 – 4x + 5$. Tentukan nilai $f(3)$ dan gambarlah sketsa grafiknya.

Pembahasan:
Untuk mencari nilai $f(3)$, substitusikan $x=3$ ke dalam fungsi:
$f(3) = 2(3)^2 – 4(3) + 5$
$f(3) = 2(9) – 12 + 5$
$f(3) = 18 – 12 + 5$
$f(3) = 6 + 5 = 11$.
Jadi, nilai $f(3) = 11$.

Untuk menggambar sketsa grafik:
Koefisien $a=2$ (positif), sehingga parabola terbuka ke atas.
Sumbu simetri: $x = -fracb2a = -frac-42(2) = frac44 = 1$.
Titik puncak:
Koordinat x titik puncak adalah 1.
Koordinat y titik puncak: $f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 5 = 2 – 4 + 5 = 3$.
Titik puncak adalah $(1, 3)$.
Titik potong sumbu y: saat $x=0$, $f(0) = 5$. Titik potong sumbu y adalah $(0, 5)$.
Karena sumbu simetri adalah $x=1$, maka titik simetris dari $(0,5)$ adalah $(2,5)$.

Sketsa grafik akan menunjukkan parabola terbuka ke atas dengan titik puncak di $(1,3)$ dan memotong sumbu y di $(0,5)$.

Soal 2:
Tentukan sumbu simetri dan titik puncak dari fungsi kuadrat $g(x) = -x^2 + 6x – 7$.

Pembahasan:
Dalam fungsi $g(x) = -x^2 + 6x – 7$, kita punya $a = -1$, $b = 6$, dan $c = -7$.
Sumbu simetri: $x = -fracb2a = -frac62(-1) = -frac6-2 = 3$.
Jadi, sumbu simetri adalah garis $x = 3$.

Titik puncak:
Koordinat x titik puncak adalah 3.
Koordinat y titik puncak: $g(3) = -(3)^2 + 6(3) – 7$
$g(3) = -9 + 18 – 7$
$g(3) = 9 – 7 = 2$.
Jadi, titik puncak adalah $(3, 2)$.

Soal 3:
Selesaikan persamaan kuadrat $x^2 – 5x + 6 = 0$ menggunakan metode pemfaktoran dan rumus kuadrat.

Pembahasan:
Metode Pemfaktoran:
Kita perlu mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan -5. Bilangan tersebut adalah -2 dan -3.
$x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) = 0$
Maka, $x – 2 = 0$ atau $x – 3 = 0$.
Solusinya adalah $x = 2$ atau $x = 3$.

Rumus Kuadrat (ABC):
Dalam persamaan $x^2 – 5x + 6 = 0$, kita punya $a = 1$, $b = -5$, dan $c = 6$.
$x = frac-b pm sqrtb^2 – 4ac2a$
$x = frac-(-5) pm sqrt(-5)^2 – 4(1)(6)2(1)$
$x = frac5 pm sqrt25 – 242$
$x = frac5 pm sqrt12$
$x = frac5 pm 12$
Maka, $x_1 = frac5 + 12 = frac62 = 3$.
Dan $x_2 = frac5 – 12 = frac42 = 2$.
Solusinya adalah $x = 3$ atau $x = 2$.

Soal 4:
Tentukan jenis akar dari persamaan kuadrat $3x^2 – 2x + 5 = 0$.

Pembahasan:
Kita punya $a = 3$, $b = -2$, dan $c = 5$.
Hitung diskriminan ($D$):
$D = b^2 – 4ac$
$D = (-2)^2 – 4(3)(5)$
$D = 4 – 60$
$D = -56$.
Karena $D < 0$, maka persamaan kuadrat ini memiliki dua akar kompleks (tidak real).

Soal 5:
Sebuah bola diluncurkan ke udara dengan ketinggian $h$ (dalam meter) setelah $t$ detik diberikan oleh rumus $h(t) = -5t^2 + 20t$. Kapan bola tersebut mencapai ketinggian maksimum dan berapa ketinggian maksimumnya?

Pembahasan:
Fungsi ketinggian adalah $h(t) = -5t^2 + 20t$. Ini adalah fungsi kuadrat dengan $a = -5$, $b = 20$, dan $c = 0$.
Karena $a < 0$, grafik parabola terbuka ke bawah, sehingga memiliki titik puncak yang merupakan ketinggian maksimum.
Waktu saat bola mencapai ketinggian maksimum adalah koordinat $t$ dari titik puncak:
$t = -fracb2a = -frac202(-5) = -frac20-10 = 2$ detik.

Ketinggian maksimum bola adalah nilai $h$ pada $t=2$:
$h(2) = -5(2)^2 + 20(2)$
$h(2) = -5(4) + 40$
$h(2) = -20 + 40 = 20$ meter.

Jadi, bola tersebut mencapai ketinggian maksimum pada detik ke-2 dengan ketinggian 20 meter.

Topik 2: Fungsi Linier dan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

Fungsi linier adalah fungsi yang grafiknya berupa garis lurus. SPLDV adalah sekumpulan dua atau lebih persamaan linier dengan dua variabel yang saling berhubungan.

Konsep Dasar Fungsi Linier:
Fungsi linier memiliki bentuk umum $f(x) = mx + c$, di mana $m$ adalah gradien (kemiringan) garis dan $c$ adalah konstanta (titik potong sumbu y).

Grafik Fungsi Linier:

  • Gradien ($m$): Menunjukkan kemiringan garis. Jika $m > 0$, garis naik dari kiri ke kanan. Jika $m < 0$, garis turun dari kiri ke kanan. Jika $m = 0$, garis horizontal.
  • Titik Potong Sumbu Y ($c$): Titik di mana garis memotong sumbu y. Terjadi saat $x = 0$, sehingga titiknya adalah $(0, c)$.
  • Titik Potong Sumbu X: Titik di mana garis memotong sumbu x. Terjadi saat $f(x) = 0$.

Menentukan Persamaan Garis Linier:

  • Jika diketahui gradien ($m$) dan satu titik $(x_1, y_1)$: $y – y_1 = m(x – x_1)$.
  • Jika diketahui dua titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$: $m = fracy_2 – y_1x_2 – x_1$, lalu gunakan rumus di atas.

Konsep SPLDV:
SPLDV terdiri dari dua persamaan linier dengan dua variabel, misalnya:
$a_1x + b_1y = c_1$
$a_2x + b_2y = c_2$
Solusi dari SPLDV adalah pasangan nilai $(x, y)$ yang memenuhi kedua persamaan secara bersamaan.

Metode Penyelesaian SPLDV:

  1. Substitusi: Menyelesaikan salah satu persamaan untuk salah satu variabel, lalu menggantikannya ke persamaan lain.
  2. Eliminasi: Mengalikan salah satu atau kedua persamaan dengan konstanta sehingga koefisien salah satu variabel sama, lalu menjumlahkan atau mengurangkan kedua persamaan untuk mengeliminasi variabel tersebut.
  3. Grafik: Menggambar kedua garis dari persamaan linier. Titik potong kedua garis adalah solusi SPLDV.

Aplikasi:
Fungsi linier dan SPLDV banyak digunakan dalam masalah ekonomi (misalnya, penentuan harga dan kuantitas), fisika (misalnya, hubungan antara jarak, kecepatan, dan waktu), dan kehidupan sehari-hari (misalnya, perbandingan harga barang).

Contoh Soal dan Pembahasan:

Soal 6:
Tentukan gradien dan persamaan garis yang melalui titik $(2, 5)$ dan memiliki gradien $-3$.

Pembahasan:
Diketahui gradien $m = -3$ dan titik $(x_1, y_1) = (2, 5)$.
Menggunakan rumus $y – y_1 = m(x – x_1)$:
$y – 5 = -3(x – 2)$
$y – 5 = -3x + 6$
$y = -3x + 6 + 5$
$y = -3x + 11$.
Jadi, gradiennya adalah $-3$ dan persamaannya adalah $y = -3x + 11$.

Soal 7:
Gambarkan grafik dari fungsi linier $f(x) = frac12x + 2$.

Pembahasan:
Dalam fungsi $f(x) = frac12x + 2$, gradien $m = frac12$ dan titik potong sumbu y adalah $c = 2$.
Titik potong sumbu y adalah $(0, 2)$.
Untuk mencari titik potong sumbu x, atur $f(x) = 0$:
$0 = frac12x + 2$
$-2 = frac12x$
$x = -4$.
Titik potong sumbu x adalah $(-4, 0)$.

Untuk menggambar grafik, kita memiliki dua titik: $(0, 2)$ dan $(-4, 0)$. Hubungkan kedua titik ini dengan garis lurus.

Soal 8:
Selesaikan SPLDV berikut menggunakan metode substitusi:
$x + 2y = 7$
$2x – y = 4$

Pembahasan:
Dari persamaan pertama, $x + 2y = 7$, kita bisa menyatakan $x$ dalam $y$:
$x = 7 – 2y$.

Substitusikan ekspresi $x$ ini ke dalam persamaan kedua:
$2(7 – 2y) – y = 4$
$14 – 4y – y = 4$
$14 – 5y = 4$
$-5y = 4 – 14$
$-5y = -10$
$y = 2$.

Sekarang, substitusikan nilai $y = 2$ kembali ke ekspresi untuk $x$:
$x = 7 – 2y$
$x = 7 – 2(2)$
$x = 7 – 4$
$x = 3$.
Jadi, solusi SPLDV adalah $(x, y) = (3, 2)$.

Soal 9:
Selesaikan SPLDV berikut menggunakan metode eliminasi:
$3x + 2y = 11$
$x – 2y = 1$

Pembahasan:
Perhatikan bahwa koefisien $y$ pada kedua persamaan sudah berlawanan (+2y dan -2y). Kita bisa langsung menjumlahkan kedua persamaan untuk mengeliminasi $y$:
$(3x + 2y) + (x – 2y) = 11 + 1$
$3x + x + 2y – 2y = 12$
$4x = 12$
$x = 3$.

Sekarang, substitusikan nilai $x = 3$ ke salah satu persamaan awal, misalnya persamaan kedua:
$x – 2y = 1$
$3 – 2y = 1$
$-2y = 1 – 3$
$-2y = -2$
$y = 1$.
Jadi, solusi SPLDV adalah $(x, y) = (3, 1)$.

Soal 10:
Harga 2 buku dan 3 pensil adalah Rp12.000. Harga 3 buku dan 1 pensil adalah Rp11.000. Berapakah harga 1 buku dan 1 pensil?

Pembahasan:
Misalkan harga 1 buku adalah $b$ dan harga 1 pensil adalah $p$.
Kita dapat membentuk SPLDV:
1) $2b + 3p = 12000$
2) $3b + p = 11000$

Kita akan menggunakan metode eliminasi. Kalikan persamaan kedua dengan 3 agar koefisien $p$ sama dengan persamaan pertama:
Persamaan 1: $2b + 3p = 12000$
Persamaan 2 (dikali 3): $9b + 3p = 33000$

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2 yang baru:
$(9b + 3p) – (2b + 3p) = 33000 – 12000$
$9b – 2b + 3p – 3p = 21000$
$7b = 21000$
$b = 3000$.

Substitusikan nilai $b = 3000$ ke persamaan kedua awal ($3b + p = 11000$):
$3(3000) + p = 11000$
$9000 + p = 11000$
$p = 11000 – 9000$
$p = 2000$.

Jadi, harga 1 buku adalah Rp3.000 dan harga 1 pensil adalah Rp2.000.
Harga 1 buku dan 1 pensil adalah Rp3.000 + Rp2.000 = Rp5.000.

Topik 3: Trigonometri Dasar

Trigonometri mempelajari hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga. Di kelas 10, kita akan fokus pada perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dan sudut-sudut istimewa.

Pengenalan Sudut:

  • Derajat (°): Satuan umum untuk mengukur sudut.
  • Radian: Satuan lain untuk mengukur sudut. Hubungan penting: $180^circ = pi$ radian.

Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku:
Misalkan kita punya segitiga siku-siku dengan sudut $theta$. Sisi-sisi segitiga relatif terhadap sudut $theta$ adalah:

  • Sisi Depan (De): Sisi yang berhadapan langsung dengan sudut $theta$.
  • Sisi Samping (Sa): Sisi yang bersebelahan dengan sudut $theta$, tetapi bukan sisi miring.
  • Sisi Miring (Mi): Sisi terpanjang di depan sudut siku-siku.

Perbandingan trigonometri didefinisikan sebagai:

  • Sinus (sin): $sin theta = fractextDetextMi$
  • Kosinus (cos): $cos theta = fractextSatextMi$
  • Tangen (tan): $tan theta = fractextDetextSa = fracsin thetacos theta$
Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Istimewa:
Sudut-sudut berikut sering muncul dan memiliki nilai trigonometri yang mudah diingat:		 Sudut ($theta$) $sin theta$ $cos theta$ $tan theta$
$0^circ$ $0$ $1$ $0$
$30^circ$ $frac12$ $fracsqrt32$ $frac1sqrt3$
$45^circ$ $fracsqrt22$ $fracsqrt22$ $1$
$60^circ$ $fracsqrt32$ $frac12$ $sqrt3$
$90^circ$ $1$ $0$ Tidak terdefinisi

Relasi Sudut dan Identitas Trigonometri Dasar:

  • $sin(90^circ – theta) = cos theta$
  • $cos(90^circ – theta) = sin theta$
  • $tan(90^circ – theta) = cot theta$
  • Identitas Pythagoras: $sin^2 theta + cos^2 theta = 1$

Contoh Soal dan Pembahasan:

Soal 11:
Dalam sebuah segitiga siku-siku, panjang sisi depan sudut $alpha$ adalah 8 cm dan panjang sisi sampingnya adalah 15 cm. Tentukan nilai $sin alpha$, $cos alpha$, dan $tan alpha$.

Pembahasan:
Diketahui sisi depan (De) = 8 cm dan sisi samping (Sa) = 15 cm.
Pertama, kita perlu mencari panjang sisi miring (Mi) menggunakan Teorema Pythagoras:
$Mi^2 = De^2 + Sa^2$
$Mi^2 = 8^2 + 15^2$
$Mi^2 = 64 + 225$
$Mi^2 = 289$
$Mi = sqrt289 = 17$ cm.

Sekarang, hitung perbandingan trigonometrinya:
$sin alpha = fractextDetextMi = frac817$
$cos alpha = fractextSatextMi = frac1517$
$tan alpha = fractextDetextSa = frac815$

Soal 12:
Tentukan nilai dari:
a) $sin 60^circ + cos 30^circ$
b) $tan 45^circ – sin 90^circ$

Pembahasan:
a) Menggunakan nilai sudut istimewa:
$sin 60^circ = fracsqrt32$
$cos 30^circ = fracsqrt32$
$sin 60^circ + cos 30^circ = fracsqrt32 + fracsqrt32 = frac2sqrt32 = sqrt3$.

b) Menggunakan nilai sudut istimewa:
$tan 45^circ = 1$
$sin 90^circ = 1$
$tan 45^circ – sin 90^circ = 1 – 1 = 0$.

Soal 13:
Sederhanakan bentuk $fracsin thetatan theta$.

Pembahasan:
Kita tahu bahwa $tan theta = fracsin thetacos theta$.
Substitusikan ini ke dalam ekspresi:
$fracsin thetatan theta = fracsin thetafracsin thetacos theta$
Untuk membagi dengan pecahan, kita kalikan dengan kebalikannya:
$fracsin theta1 times fraccos thetasin theta$
$fracsin theta cos thetasin theta$
Dengan asumsi $sin theta neq 0$, kita bisa mencoret $sin theta$:
$= cos theta$.
Jadi, $fracsin thetatan theta = cos theta$.

Soal 14:
Sebuah tiang bendera memiliki tinggi 10 meter. Jika jarak dari ujung bayangan tiang bendera ke puncak tiang adalah 20 meter, tentukan besar sudut elevasi dari ujung bayangan ke puncak tiang bendera.

Pembahasan:
Kita dapat membayangkan ini sebagai segitiga siku-siku, di mana:

  • Tinggi tiang bendera adalah sisi depan (De) = 10 meter.
  • Panjang bayangan adalah sisi samping (Sa) = 20 meter.
  • Sudut elevasi adalah sudut yang ingin kita cari.

Kita memiliki perbandingan sisi depan dan sisi samping, jadi kita gunakan tangen:
$tan theta = fractextDetextSa$
$tan theta = frac1020$
$tan theta = frac12$

Untuk mencari besar sudut $theta$, kita gunakan fungsi arctan (atau tan invers):
$theta = arctanleft(frac12right)$
Menggunakan kalkulator, $theta approx 26.57^circ$.
Jadi, besar sudut elevasi adalah sekitar $26.57^circ$.

Topik 4: Peluang Kejadian Sederhana

Peluang adalah ukuran kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Di kelas 10, kita akan mempelajari peluang kejadian sederhana.

Konsep Ruang Sampel dan Kejadian:

  • Ruang Sampel (S): Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan.
  • Kejadian (K): Himpunan bagian dari ruang sampel, yaitu hasil tertentu yang kita minati.

Menghitung Peluang Suatu Kejadian:
Peluang suatu kejadian K dalam ruang sampel S yang memiliki jumlah anggota yang sama (peluang setiap anggota sama) dihitung dengan rumus:
$P(K) = fracn(K)n(S)$
di mana $n(K)$ adalah jumlah anggota kejadian K, dan $n(S)$ adalah jumlah anggota ruang sampel S.
Nilai peluang selalu berada di antara 0 dan 1 ($0 le P(K) le 1$).

Peluang Kejadian Saling Lepas dan Tidak Saling Lepas:

  • Saling Lepas: Dua kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak dapat terjadi bersamaan ($A cap B = emptyset$). Peluangnya adalah $P(A cup B) = P(A) + P(B)$.
  • Tidak Saling Lepas: Dua kejadian A dan B dikatakan tidak saling lepas jika keduanya dapat terjadi bersamaan ($A cap B neq emptyset$). Peluangnya adalah $P(A cup B) = P(A) + P(B) – P(A cap B)$.

Peluang Kejadian Bersyarat:
Peluang kejadian A terjadi jika diketahui kejadian B telah terjadi, dilambangkan $P(A|B)$, dihitung dengan:
$P(A|B) = fracP(A cap B)P(B)$ (dengan syarat $P(B) neq 0$).

Contoh Soal dan Pembahasan:

Soal 15:
Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil satu bola secara acak, berapakah peluang terambilnya bola biru?

Pembahasan:
Ruang sampel (S) adalah himpunan semua bola dalam kotak.
Jumlah total bola = 5 bola merah + 3 bola biru = 8 bola.
Jadi, $n(S) = 8$.

Kejadian (K) adalah terambilnya bola biru.
Jumlah bola biru = 3.
Jadi, $n(K) = 3$.

Peluang terambilnya bola biru:
$P(textbiru) = fracn(textbiru)n(S) = frac38$.

Soal 16:
Dua buah dadu bersisi enam dilempar bersamaan. Berapakah peluang munculnya jumlah mata dadu 7?

Pembahasan:
Ruang sampel (S) dari pelemparan dua dadu adalah pasangan angka dari (1,1) hingga (6,6). Jumlah total kemungkinan hasil adalah $6 times 6 = 36$.
Jadi, $n(S) = 36$.

Kejadian (K) adalah munculnya jumlah mata dadu 7. Hasil yang memungkinkan adalah:
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1).
Ada 6 hasil yang memenuhi.
Jadi, $n(K) = 6$.

Peluang munculnya jumlah mata dadu 7:
$P(textjumlah 7) = fracn(K)n(S) = frac636 = frac16$.

Soal 17:
Dalam sebuah kantong terdapat 5 kartu bernomor 1 sampai 5. Jika diambil dua kartu secara acak tanpa pengembalian, berapakah peluang terambilnya kartu bernomor genap dan kartu bernomor ganjil?

Pembahasan:
Ruang sampel (S) adalah pemilihan 2 kartu dari 5 kartu.
Jumlah total cara memilih 2 kartu dari 5 adalah kombinasi $C(5, 2)$:
$n(S) = C(5, 2) = frac5!2!(5-2)! = frac5!2!3! = frac5 times 42 times 1 = 10$.

Kejadian (K) adalah terambilnya satu kartu genap dan satu kartu ganjil.
Kartu bernomor ganjil: 1, 3, 5 (ada 3 kartu)
Kartu bernomor genap: 2, 4 (ada 2 kartu)

Cara memilih 1 kartu ganjil dari 3 kartu ganjil adalah $C(3, 1) = 3$.
Cara memilih 1 kartu genap dari 2 kartu genap adalah $C(2, 1) = 2$.

Jumlah cara kejadian K terjadi adalah perkalian dari kedua pilihan tersebut:
$n(K) = C(3