Persiapan UAS Matematika Wajib Kelas 10

Persiapan UAS Matematika Wajib Kelas 10

Menjelang akhir semester pertama, para siswa kelas 10 dihadapkan pada evaluasi akhir tahun, yaitu Ujian Akhir Semester (UAS). Mata pelajaran Matematika Wajib, dengan cakupan materi yang luas dan konsep yang fundamental, seringkali menjadi salah satu fokus utama dalam persiapan ujian ini. Memahami format soal dan berlatih dengan contoh-contoh yang relevan adalah kunci untuk meraih hasil yang optimal. Artikel ini akan menyajikan panduan lengkap beserta contoh-contoh soal UAS Matematika Wajib Kelas 10 Semester 1, disertai dengan penjelasan mendalam untuk membantu siswa mempersiapkan diri secara efektif.

Outline Artikel:

  1. Persiapan UAS Matematika Wajib Kelas 10

    Pendahuluan:

    • Pentingnya Matematika Wajib Kelas 10.
    • Tujuan artikel: Membantu persiapan UAS.
    • Gambaran umum materi semester 1.

  2. Materi Pokok Matematika Wajib Kelas 10 Semester 1:

    • Pangkat, Akar, dan Logaritma.
    • Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak.
    • Fungsi Kuadrat.
    • Fungsi Eksponensial dan Logaritma.
    • Sistem Persamaan Linear (SPL) Tiga Variabel.

  3. Strategi Belajar Efektif untuk UAS:

    • Memahami konsep dasar.
    • Latihan soal rutin.
    • Membuat rangkuman materi.
    • Belajar kelompok.
    • Manajemen waktu saat ujian.

  4. Contoh Soal UAS Matematika Wajib Kelas 10 Semester 1:

    • Bagian 1: Pangkat, Akar, dan Logaritma
      • Soal 1.1: Operasi hitung bentuk pangkat.
      • Soal 1.2: Penyederhanaan bentuk akar.
      • Soal 1.3: Sifat-sifat logaritma.
    • Bagian 2: Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
      • Soal 2.1: Menyelesaikan persamaan nilai mutlak linear satu variabel.
      • Soal 2.2: Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel.
      • Soal 2.3: Aplikasi nilai mutlak dalam soal cerita.
    • Bagian 3: Fungsi Kuadrat
      • Soal 3.1: Menentukan karakteristik grafik fungsi kuadrat (titik puncak, sumbu simetri).
      • Soal 3.2: Menyusun persamaan fungsi kuadrat berdasarkan informasi yang diberikan.
      • Soal 3.3: Aplikasi fungsi kuadrat dalam masalah optimasi.
    • Bagian 4: Fungsi Eksponensial dan Logaritma
      • Soal 4.1: Menyelesaikan persamaan eksponensial sederhana.
      • Soal 4.2: Menyelesaikan persamaan logaritma sederhana.
      • Soal 4.3: Grafik fungsi eksponensial dan logaritma.
    • Bagian 5: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
      • Soal 5.1: Menyelesaikan SPLTV menggunakan metode substitusi.
      • Soal 5.2: Menyelesaikan SPLTV menggunakan metode eliminasi.
      • Soal 5.3: Aplikasi SPLTV dalam soal cerita.

  5. Pembahasan Mendalam Contoh Soal:

    • Pembahasan rinci untuk setiap soal, menjelaskan langkah demi langkah penyelesaiannya.
    • Menekankan pada konsep yang digunakan dan tips untuk menghindari kesalahan umum.

  6. Tips Menghadapi UAS Matematika:

    • Membaca soal dengan teliti.
    • Menggunakan waktu dengan bijak.
    • Memeriksa kembali jawaban.
    • Tetap tenang dan percaya diri.

  7. Penutup:

    • Pesan motivasi untuk siswa.
    • Pentingnya konsistensi dalam belajar.

Persiapan UAS Matematika Wajib Kelas 10

Semester pertama di jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA) merupakan masa transisi yang krusial. Bagi siswa kelas 10, Matematika Wajib menjadi salah satu mata pelajaran yang menuntut pemahaman mendalam terhadap berbagai konsep fundamental yang akan menjadi dasar untuk materi-materi selanjutnya. Menjelang akhir semester, Ujian Akhir Semester (UAS) menjadi tolok ukur sejauh mana pemahaman dan penguasaan materi telah tercapai. Artikel ini bertujuan untuk menjadi panduan komprehensif bagi siswa kelas 10 dalam mempersiapkan diri menghadapi UAS Matematika Wajib Semester 1. Kita akan mengulas materi pokok, strategi belajar yang efektif, serta menyajikan contoh-contoh soal beserta pembahasannya yang rinci.

Materi Pokok Matematika Wajib Kelas 10 Semester 1

Materi yang diajarkan dalam Matematika Wajib kelas 10 semester 1 umumnya mencakup beberapa topik utama yang saling berkaitan:

  1. Pangkat, Akar, dan Logaritma: Topik ini membahas sifat-sifat operasi bilangan berpangkat bulat, bentuk akar, serta konsep logaritma beserta sifat-sifatnya. Pemahaman yang kuat di sini penting untuk materi fungsi eksponensial dan logaritma.

  2. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak: Bagian ini memperkenalkan konsep nilai mutlak, bagaimana menyelesaikannya dalam bentuk persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel, serta aplikasinya dalam konteks masalah nyata.

  3. Fungsi Kuadrat: Siswa akan mempelajari bentuk umum fungsi kuadrat, cara menggambar grafiknya, menentukan titik puncak, sumbu simetri, serta menyusun persamaan fungsi kuadrat berdasarkan informasi yang diberikan. Aplikasi fungsi kuadrat dalam optimasi juga sering diujikan.

  4. Fungsi Eksponensial dan Logaritma: Topik ini membahas definisi, sifat-sifat, serta cara menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan yang melibatkan fungsi eksponensial dan logaritma. Penguasaan materi pangkat, akar, dan logaritma sangat membantu di sini.

  5. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV): Bagian terakhir semester ini biasanya fokus pada penyelesaian SPLTV menggunakan berbagai metode seperti substitusi, eliminasi, atau gabungan keduanya. Aplikasinya dalam soal cerita juga menjadi fokus penting.

Strategi Belajar Efektif untuk UAS

Menghadapi UAS yang mencakup berbagai topik memerlukan strategi belajar yang terstruktur dan konsisten. Berikut beberapa tips yang dapat diterapkan:

  • Memahami Konsep Dasar: Jangan hanya menghafal rumus. Usahakan untuk benar-benar memahami konsep di balik setiap rumus atau teorema. Mengapa rumus tersebut berlaku? Apa artinya? Pemahaman konseptual akan memudahkan penyelesaian soal yang bervariasi.
  • Latihan Soal Rutin: Matematika adalah mata pelajaran yang sangat bergantung pada latihan. Kerjakan soal-soal dari buku paket, buku latihan, maupun soal-soal ujian tahun sebelumnya secara rutin. Semakin banyak variasi soal yang dikerjakan, semakin siap siswa menghadapi berbagai jenis soal saat ujian.
  • Membuat Rangkuman Materi: Buatlah catatan ringkas atau peta konsep untuk setiap topik. Cantumkan definisi, sifat-sifat penting, rumus-rumus kunci, dan contoh soal sederhana. Rangkuman ini akan sangat berguna saat sesi revisi menjelang ujian.
  • Belajar Kelompok: Diskusi dengan teman dapat membantu mengklarifikasi konsep yang belum dipahami dan melihat sudut pandang penyelesaian yang berbeda. Saling menjelaskan materi kepada teman juga merupakan cara yang efektif untuk menguji pemahaman diri sendiri.
  • Manajemen Waktu Saat Ujian: Latihan mengerjakan soal dengan batas waktu tertentu. Ini membantu siswa terbiasa dengan tekanan waktu dan melatih kemampuan untuk mengalokasikan waktu secara efisien untuk setiap soal.

Contoh Soal UAS Matematika Wajib Kelas 10 Semester 1

Berikut adalah contoh-contoh soal yang mencakup berbagai topik yang telah disebutkan, beserta panduan pembahasannya:

Bagian 1: Pangkat, Akar, dan Logaritma

Soal 1.1:
Sederhanakan bentuk $frac(3a^2b^-1)^39a^-3b^4$ menjadi bentuk paling sederhana!

Pembahasan Soal 1.1:
Untuk menyederhanakan bentuk ini, kita akan menggunakan sifat-sifat pangkat:

  • $(x^m)^n = x^m times n$
  • $(xy)^n = x^n y^n$
  • $fracx^mx^n = x^m-n$
  • $x^-n = frac1x^n$

Langkah-langkah penyelesaian:

  1. Terapkan sifat pangkat pada pembilang:
    $(3a^2b^-1)^3 = 3^3 times (a^2)^3 times (b^-1)^3 = 27 times a^2 times 3 times b^-1 times 3 = 27a^6b^-3$.

  2. Sekarang, bentuknya menjadi:
    $frac27a^6b^-39a^-3b^4$.

  3. Pisahkan koefisien, variabel $a$, dan variabel $b$:
    $(frac279) times (fraca^6a^-3) times (fracb^-3b^4)$.

  4. Sederhanakan setiap bagian:

    • $frac279 = 3$.
    • $fraca^6a^-3 = a^6 – (-3) = a^6+3 = a^9$.
    • $fracb^-3b^4 = b^-3 – 4 = b^-7$.

  5. Gabungkan kembali hasilnya:
    $3 times a^9 times b^-7 = 3a^9b^-7$.

  6. Ubahlah bentuk pangkat negatif menjadi positif (jika diminta dalam bentuk pangkat positif):
    $3a^9b^-7 = frac3a^9b^7$.

Jadi, bentuk paling sederhana dari $frac(3a^2b^-1)^39a^-3b^4$ adalah $frac3a^9b^7$.

Soal 1.2:
Bentuk sederhana dari $sqrt75 – sqrt48 + sqrt12$ adalah …

Pembahasan Soal 1.2:
Untuk menyederhanakan bentuk akar, kita perlu mencari faktor kuadrat terbesar dari setiap bilangan di bawah akar.

  • $sqrt75$: Faktor kuadrat terbesar dari 75 adalah 25 ($75 = 25 times 3$). Jadi, $sqrt75 = sqrt25 times 3 = sqrt25 times sqrt3 = 5sqrt3$.
  • $sqrt48$: Faktor kuadrat terbesar dari 48 adalah 16 ($48 = 16 times 3$). Jadi, $sqrt48 = sqrt16 times 3 = sqrt16 times sqrt3 = 4sqrt3$.
  • $sqrt12$: Faktor kuadrat terbesar dari 12 adalah 4 ($12 = 4 times 3$). Jadi, $sqrt12 = sqrt4 times 3 = sqrt4 times sqrt3 = 2sqrt3$.

Setelah semua akar disederhanakan, kita dapat menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku yang sejenis (yang memiliki akar yang sama):
$5sqrt3 – 4sqrt3 + 2sqrt3 = (5 – 4 + 2)sqrt3 = (1 + 2)sqrt3 = 3sqrt3$.

Jadi, bentuk sederhana dari $sqrt75 – sqrt48 + sqrt12$ adalah $3sqrt3$.

Soal 1.3:
Jika $log_2 3 = a$ dan $log_2 5 = b$, maka nilai dari $log_2 45$ adalah …

Pembahasan Soal 1.3:
Kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma:

  • $log_c (x times y) = log_c x + log_c y$
  • $log_c (x^n) = n log_c x$

Pertama, faktorkan angka 45 menjadi perkalian bilangan yang basis logaritmanya sudah diketahui atau dapat diubah menjadi basis 2.
$45 = 9 times 5 = 3^2 times 5$.

Sekarang, terapkan sifat logaritma:
$log_2 45 = log_2 (3^2 times 5)$.

Menggunakan sifat perkalian:
$log_2 (3^2 times 5) = log_2 (3^2) + log_2 5$.

Menggunakan sifat pangkat:
$log_2 (3^2) = 2 log_2 3$.

Jadi, $log_2 45 = 2 log_2 3 + log_2 5$.

Kita sudah diberikan bahwa $log_2 3 = a$ dan $log_2 5 = b$. Substitusikan nilai-nilai ini:
$log_2 45 = 2(a) + b = 2a + b$.

Jadi, nilai dari $log_2 45$ adalah $2a + b$.

Bagian 2: Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Soal 2.1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $|2x – 1| = 5$.

Pembahasan Soal 2.1:
Persamaan nilai mutlak $|A| = k$ memiliki dua kemungkinan solusi: $A = k$ atau $A = -k$ (dengan syarat $k ge 0$).

Dalam kasus ini, $A = 2x – 1$ dan $k = 5$.

Kemungkinan 1: $2x – 1 = 5$
$2x = 5 + 1$
$2x = 6$
$x = frac62$
$x = 3$.

Kemungkinan 2: $2x – 1 = -5$
$2x = -5 + 1$
$2x = -4$
$x = frac-42$
$x = -2$.

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan $|2x – 1| = 5$ adalah $-2, 3$.

Soal 2.2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|x + 3| le 7$.

Pembahasan Soal 2.2:
Pertidaksamaan nilai mutlak $|A| le k$ dapat diubah menjadi pertidaksamaan berlapis $-k le A le k$.

Dalam kasus ini, $A = x + 3$ dan $k = 7$.

Maka, kita dapat menulisnya sebagai:
$-7 le x + 3 le 7$.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita perlu mengisolasi $x$ di tengah. Kurangi setiap bagian dengan 3:
$-7 – 3 le x + 3 – 3 le 7 – 3$
$-10 le x le 4$.

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|x + 3| le 7$ adalah $x mid -10 le x le 4$. Dalam notasi interval, ini adalah $$.

Soal 2.3:
Jarak antara dua kota, A dan B, adalah 150 km. Sebuah mobil berangkat dari kota A menuju kota B dengan kecepatan rata-rata $v$ km/jam. Jika selisih antara kecepatan mobil dan kecepatan rata-rata yang diharapkan (100 km/jam) tidak boleh lebih dari 20 km/jam, tentukan rentang kecepatan mobil tersebut.

Pembahasan Soal 2.3:
Misalkan $v$ adalah kecepatan mobil dalam km/jam.
Kecepatan rata-rata yang diharapkan adalah 100 km/jam.
Selisih antara kecepatan mobil dan kecepatan rata-rata yang diharapkan tidak boleh lebih dari 20 km/jam. Ini berarti selisihnya bisa positif atau negatif, tetapi nilainya harus kurang dari atau sama dengan 20.

Dalam bentuk nilai mutlak, ini dapat ditulis sebagai:
$|v – 100| le 20$.

Menggunakan definisi pertidaksamaan nilai mutlak:
$-20 le v – 100 le 20$.

Untuk mengisolasi $v$, tambahkan 100 ke setiap bagian pertidaksamaan:
$-20 + 100 le v – 100 + 100 le 20 + 100$
$80 le v le 120$.

Jadi, rentang kecepatan mobil tersebut adalah antara 80 km/jam sampai 120 km/jam, atau dapat ditulis sebagai $v mid 80 le v le 120$.

Bagian 3: Fungsi Kuadrat

Soal 3.1:
Diketahui fungsi kuadrat $f(x) = 2x^2 – 8x + 6$. Tentukan titik puncak dan sumbu simetrinya.

Pembahasan Soal 3.1:
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah $f(x) = ax^2 + bx + c$.
Dalam soal ini, $a = 2$, $b = -8$, dan $c = 6$.

  • Sumbu Simetri:
    Sumbu simetri dari fungsi kuadrat diberikan oleh rumus $x = -fracb2a$.
    $x = -frac-82 times 2 = -frac-84 = -(-2) = 2$.
    Jadi, sumbu simetrinya adalah garis $x = 2$.

  • Titik Puncak:
    Koordinat $y$ dari titik puncak dapat ditemukan dengan mensubstitusikan nilai $x$ dari sumbu simetri ke dalam fungsi $f(x)$.
    $f(2) = 2(2)^2 – 8(2) + 6$
    $f(2) = 2(4) – 16 + 6$
    $f(2) = 8 – 16 + 6$
    $f(2) = -8 + 6 = -2$.
    Jadi, titik puncaknya adalah $(2, -2)$.

Soal 3.2:
Susunlah persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak $(-1, 4)$ dan melalui titik $(1, 0)$.

Pembahasan Soal 3.2:
Kita dapat menggunakan bentuk umum fungsi kuadrat berdasarkan titik puncak, yaitu $f(x) = a(x – h)^2 + k$, di mana $(h, k)$ adalah koordinat titik puncak.
Dalam soal ini, $(h, k) = (-1, 4)$.
Jadi, persamaannya menjadi:
$f(x) = a(x – (-1))^2 + 4$
$f(x) = a(x + 1)^2 + 4$.

Sekarang, kita gunakan informasi bahwa fungsi melalui titik $(1, 0)$. Ini berarti ketika $x=1$, $f(x)=0$. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan:
$0 = a(1 + 1)^2 + 4$
$0 = a(2)^2 + 4$
$0 = 4a + 4$.

Selesaikan untuk $a$:
$4a = -4$
$a = frac-44 = -1$.

Setelah mendapatkan nilai $a$, substitusikan kembali ke dalam bentuk puncak:
$f(x) = -1(x + 1)^2 + 4$.

Untuk mengubahnya ke bentuk umum $ax^2 + bx + c$, kita perlu menguraikan kuadratnya:
$f(x) = -(x^2 + 2x + 1) + 4$
$f(x) = -x^2 – 2x – 1 + 4$
$f(x) = -x^2 – 2x + 3$.

Jadi, persamaan fungsi kuadrat tersebut adalah $f(x) = -x^2 – 2x + 3$.

Soal 3.3:
Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Ketinggian peluru $h$ (dalam meter) setelah $t$ detik dirumuskan oleh $h(t) = -5t^2 + 40t$. Tentukan ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu yang dibutuhkan untuk mencapainya.

Pembahasan Soal 3.3:
Fungsi ketinggian $h(t) = -5t^2 + 40t$ adalah fungsi kuadrat dengan $a = -5$, $b = 40$, dan $c = 0$. Karena koefisien $a$ negatif, parabola terbuka ke bawah, sehingga memiliki titik puncak yang merupakan ketinggian maksimum.

  • Waktu untuk mencapai ketinggian maksimum:
    Ini adalah sumbu simetri dari fungsi kuadrat, yang diberikan oleh $t = -fracb2a$.
    $t = -frac402 times (-5) = -frac40-10 = 4$.
    Jadi, waktu yang dibutuhkan untuk mencapai ketinggian maksimum adalah 4 detik.

  • Ketinggian maksimum:
    Substitusikan waktu $t = 4$ ke dalam fungsi $h(t)$:
    $h(4) = -5(4)^2 + 40(4)$
    $h(4) = -5(16) + 160$
    $h(4) = -80 + 160$
    $h(4) = 80$.
    Jadi, ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah 80 meter.

Bagian 4: Fungsi Eksponensial dan Logaritma

Soal 4.1:
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^2x-1 = frac127$.

Pembahasan Soal 4.1:
Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial, kita perlu membuat basis kedua ruas sama.
Basis di ruas kiri adalah 3. Kita perlu mengubah $frac127$ menjadi bentuk pangkat dengan basis 3.
Kita tahu bahwa $27 = 3^3$.
Maka, $frac127 = frac13^3 = 3^-3$.

Sekarang, persamaan menjadi:
$3^2x-1 = 3^-3$.

Karena basisnya sudah sama, maka eksponennya harus sama:
$2x – 1 = -3$.

Selesaikan untuk $x$:
$2x = -3 + 1$
$2x = -2$
$x = frac-22$
$x = -1$.

Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan adalah $-1$.

Soal 4.2:
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $log_3 (x – 2) + log_3 (x + 4) = 1$.

Pembahasan Soal 4.2:
Pertama, kita perlu menentukan domain dari persamaan logaritma. Agar $log_3 (x-2)$ terdefinisi, $x-2 > 0$, sehingga $x > 2$. Agar $log_3 (x+4)$ terdefinisi, $x+4 > 0$, sehingga $x > -4$. Irisan dari kedua syarat ini adalah $x > 2$.

Gunakan sifat logaritma $log_c a + log_c b = log_c (a times b)$:
$log_3 ((x – 2)(x + 4)) = 1$.

Ubah bentuk logaritma ke bentuk eksponensial. Ingat bahwa $log_c a = b iff c^b = a$.
Dalam kasus ini, $c=3$, $b=1$, dan $a=(x-2)(x+4)$.
Maka:
$3^1 = (x – 2)(x + 4)$.

Sekarang, selesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan:
$3 = x^2 + 4x – 2x – 8$
$3 = x^2 + 2x – 8$.

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan persamaan kuadrat standar:
$x^2 + 2x – 8 – 3 = 0$
$x^2 + 2x – 11 = 0$.

Kita bisa menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai $x$: $x = frac-b pm sqrtb^2 – 4ac2a$.
Di sini, $a=1$, $b=2$, $c=-11$.
$x = frac-2 pm sqrt2^2 – 4(1)(-11)2(1)$
$x = frac-2 pm sqrt4 + 442$
$x = frac-2 pm sqrt482$.

Sederhanakan $sqrt48$: $sqrt48 = sqrt16 times 3 = 4sqrt3$.
$x = frac-2 pm 4sqrt32$.

Bagi setiap suku dengan 2:
$x = -1 pm 2sqrt3$.

Kita mendapatkan dua solusi potensial:
$x_1 = -1 + 2sqrt3$
$x_2 = -1 – 2sqrt3$.

Kita perlu memeriksa apakah solusi ini memenuhi syarat domain $x > 2$.
Nilai $sqrt3$ kira-kira 1.732.
$x_1 = -1 + 2(1.732) = -1 + 3.464 = 2.464$. Ini memenuhi $x > 2$.
$x_2 = -1 – 2(1.732) = -1 – 3.464 = -4.464$. Ini tidak memenuhi $x > 2$.

Jadi, satu-satunya solusi yang valid adalah $x = -1 + 2sqrt3$.

Bagian 5: Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Soal 5.1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut menggunakan metode substitusi:
1) $x + y + z = 6$
2) $x – y + 2z = 3$
3) $2x + y – z = 1$

Pembahasan Soal 5.1:
Metode substitusi melibatkan mengekspresikan satu variabel dalam bentuk variabel lain, lalu menggantikannya ke persamaan lain.

Langkah 1: Ubah salah satu persamaan untuk menyatakan satu variabel.
Dari persamaan (1), kita bisa nyatakan $x$ dalam $y$ dan $z$:
$x = 6 – y – z$.

Langkah 2: Substitusikan ekspresi $x$ ke persamaan lain (persamaan 2 dan 3).
Substitusi ke persamaan (2):
$(6 – y – z) – y + 2z = 3$
$6 – 2y + z = 3$
$-2y + z = 3 – 6$
$-2y + z = -3$ (Persamaan 4)

Substitusi ke persamaan (3):
$2(6 – y – z) + y – z = 1$
$12 – 2y – 2z + y – z = 1$
$12 – y – 3z = 1$
$-y – 3z = 1 – 12$
$-y – 3z = -11$
Kalikan dengan -1 agar lebih mudah: $y + 3z = 11$ (Persamaan 5)

Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan dua variabel yang baru (Persamaan 4 dan 5).
Kita punya:
4) $-2y + z = -3$
5) $y + 3z = 11$

Dari Persamaan 5, kita bisa nyatakan $y$ dalam $z$:
$y = 11 – 3z$.

Substitusikan ekspresi $y$ ini ke Persamaan 4:
$-2(11 – 3z) + z = -3$
$-22 + 6z + z = -3$
$7z = -3 + 22$
$7z = 19$
$z = frac197$.

Langkah 4: Substitusikan nilai $z$ untuk mencari nilai $y$.
Gunakan $y = 11 – 3z$:
$y = 11 – 3(frac197)$
$y = 11 – frac577$
$y = frac777 – frac577$
$y = frac207$.

Langkah 5: Substitusikan nilai $y$ dan $z$ untuk mencari nilai $x$.
Gunakan $x = 6 – y – z$:
$x = 6 – frac207 – frac197$
$x = frac427 – frac207 – frac197$
$x = frac42 – 20 – 197$
$x = frac22 – 197$
$x = frac37$.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(frac37, frac207, frac197)$.

Soal 5.2:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut menggunakan metode eliminasi:
1) $x + y + z = 9$
2) $2x – y + z = 5$
3) $x + 2y – z = 6$

Pembahasan Soal 5.2:
Metode eliminasi melibatkan menjumlahkan atau mengurangkan persamaan untuk menghilangkan salah satu variabel.

Langkah 1: Eliminasi salah satu variabel dari dua pasang persamaan.
Mari kita eliminasi $z$.

Pasangan 1: Persamaan (1) dan (2).
Karena koefisien $z$ di kedua persamaan sama (+1), kita bisa mengurangkan persamaan (2) dari (1):
$(x + y + z) – (2x – y + z) = 9 – 5$
$x + y + z – 2x + y – z = 4$
$-x + 2y = 4$ (Persamaan 4)

Pasangan 2: Persamaan (1) dan (3).
Koefisien $z$ di persamaan (1) adalah +1 dan di persamaan (3) adalah -1. Kita bisa menjumlahkan kedua persamaan ini:
$(x + y + z) + (x + 2y – z) = 9 + 6$
$x + y + z + x + 2y – z = 15$
$2x + 3y = 15$ (Persamaan 5)

Langkah 2: Selesaikan sistem persamaan dua variabel yang baru (Persamaan 4 dan 5).
Kita punya:
4) $-x + 2y = 4$
5) $2x + 3y = 15$

Mari kita eliminasi $x$. Kalikan Persamaan 4 dengan 2 agar koefisien $x$ menjadi -2, yang bisa dieliminasi dengan $2x$ pada Persamaan 5:
$2 times (-x + 2y) = 2 times 4 implies -2x + 4y = 8$ (Persamaan 4′)

Sekarang, jumlahkan Persamaan 4′ dengan Persamaan 5:
$(-2x + 4y) + (2x + 3y) = 8 + 15$
$-2x + 4y + 2x + 3y = 23$
$7y = 23$
$y = frac237$.

Langkah 3: Substitusikan nilai $y$ untuk mencari nilai $x$.
Gunakan Persamaan 4: $-x + 2y = 4$.
$-x + 2(frac237) = 4$
$-x + frac467 = 4$
$-x = 4 – frac467$
$-x = frac287 – frac467$
$-x = frac-187$
$x = frac187$.

Langkah 4: Substitusikan nilai $x$ dan $y$ untuk mencari nilai $z$.
Gunakan Persamaan 1: $x + y + z = 9$.
$frac187 + frac237 + z = 9$
$frac18 + 237 + z = 9$
$frac417 + z = 9$
$z = 9 – frac417$
$z = frac637 – frac417$
$z = frac227$.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(frac187, frac237, frac227)$.

Soal 5.3:
Sebuah toko menjual tiga jenis barang: buku, pensil, dan penghapus. Harga 1 buku, 2 pensil, dan 1 penghapus adalah Rp13.000,00. Harga 2 buku, 1 pensil, dan 1 penghapus adalah Rp16.000,00. Harga 1 buku, 1 pensil, dan 2 penghapus adalah Rp15.000,00. Berapakah harga masing-masing buku, pensil, dan penghapus?

Pembahasan Soal 5.3:
Misalkan:
$x$ = harga 1 buku (dalam Rupiah)
$y$ = harga 1 pensil (dalam Rupiah)
$z$ = harga 1 penghapus (dalam Rupiah)

Dari informasi soal, kita dapat membentuk sistem persamaan linear tiga variabel:
1) $x + 2y + z = 13000$
2) $2x + y + z = 16000$
3) $x + y + 2z = 15000$

Kita bisa menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Mari kita gunakan eliminasi.

Langkah 1: Eliminasi satu variabel dari dua pasang persamaan.
Eliminasi $z$ dari persamaan (